Войти
Интересные статьи
- Новые образовательные стандарты и школьные учебники по ним
- Олимпиада по информатике "Отличник"
- Олимпиада по математике "Отличник"
- Олимпиада по английскому языку "Отличник"
- Самообразование учителя математики
- Особенности студенческой визы в США
- Частный репетитор английского языка – как не потеряться в изобилии предложений
Как Вы оцениваете сайт?
Всего голосов:: 1732
Новые материалы
- Открытый урок математика+экология по теме "Голубая планета Земля"
- Рабочая программа по алгебре для 10 класса. Колягин.
- Рекомендуемые ресурсы сети интернет для подготовки к ЕГЭ
- Построение графика квадратичной функции
- Таблицы квадратов и степеней
- Справочные материалы 7-9 классы. Алгебра
- Справочные материалы 6 класс
Подписка на новые материалы
Как решать квадратные уравнения?
- Подробности
- Опубликовано 30.09.2014 15:52
Квадратное уравнение - уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a ≠ 0 и x - переменная.
Сразу заметим, что если Вы только начинаете решать квадратные уравнения, то лучше сначала приводить их к общему виду для того, чтобы верно определять коэффициенты (о том, что такое коэффициенты квадратного уравнения расскажем далее): то есть если, допустим, у нас уравнение 5x2 = 7х + 10? то лучше первым делом привести его к виду 5х2 - 7х - 10 = 0.
Итак, теперь поговорим немного о коэффициентах. Числа a, b и c называются коэффициентами квадратного уравнения: a называют первым или старшим коэффициентом, b называют вторым или коэффициентом, c называют свободным членом. Сразу отметим, что коэффициент a не может быть равен нулю, иначе уравнение уже нельзя будет назвать квадратным - оно будет уже, как минимум, линейным. А вот коэффициенты b, c могут равняться нулю: тогда уравнение называется неполным квадратным уравнением.
Как же решить уравнение такого вида?
Для начала разберем случай, когда коэффициет b равен нулю. Тогда уравн. принимает вид aх2 + c = 0. Перенесем с в правую часть уравнения и разделим обе части на a. Получим: х2 = - с/a. Теперь, если дробь с/a - число положительное, то уравн. решений не имеет, т.к x2 ⩾ 0, а если с/a - число отрицательное или равное 0, то уравн. имеет корни х1 = корень из (- с/a) и х2 = - корень из (- с/a). Например, если нам дано уравн. 2х2 - 8 = 0, то его корни: х1 = корень из (- (-8)/2) = 2 и x2 = - корень из (- (-8)/2) = -2. А вот уравн. 4х2 + 16 = 0 не имеет корней, т.к. с/a = 16/4 = 4 - число положительное.
Теперь разберем случай, когда коэффициент с равен нулю. Тогда уравн. принимает вид ax2 + bx = 0. Вынесем x за скобки: х(aх + b) = 0. Теперь зададим себе вопрос: когда произведение в левой части равно 0? И ответим на него: когда один из множителей равен 0, т.е. x = 0 или ax + b = 0. Тогда получаем соответственно корни: x1 = 0 и x2 = - b/a. Например, уравн. 5x2 + 10x = 0 имеет корни x1 = 0 и x2 = - 10/5 = - 2.
Теперь о том, как решить уравнение в котором все коэффициенты отличны от нуля.
Первым делом находят дискриминант (обозначается: D). Дискриминантом называется выражение равное b2 - 4ac. Затем определяется какой по знаку дискриминант (положительный, отрицательный или равный 0). В зависимости от этого квадратное уравн. имеет разное количество корней.
Если дискриминант положительный, то уравн. имеет 2 различных корня, которые находятся по формуле: x1,2 = (-b ± корень из D)/(2a).
Если дискриминант равен 0, то уравн. имеет 1 корень (иногда говорят о двух равных или совпадающих корнях или его называют корнем кратности 2) и находится он по формуле x = -b/(2a). Часто если дискриминан равен 0, то левую часть уравнения можно свернуть по формулам квадрата суммы или разности.
Если дискриминант отрицательный, то уравн. не имеет действительных корней (оно имеет комплексные корни, о которых мы пока не говорим).
Примеры:
Обратите внимание: часто кроме обозначения переменной за x используют другие буквы латинского алфавита.
1) -3z2 + 4z + 4 = 0. D = b2 - 4ac = 16 - 4*(-3)*4 = 64. Значит, уравн. имеет 2 действительных корня. z1,2 = (-b ± корень из D)/(2a) = (-4 ± корень из 64)/(2*(-3)) = (-4 ± 8)/(-6). z1 = -2/3 и z2 = 2.
2) 5m2 - 10m + 5 = 0. D = b2 - 4ac = 100 - 4*5*5 = 0. Значит, уравн. имеет 1 действительный корень. m = -b/(2a) = -(-10)/(2*5) = 1. В правой части, конечно, можно было вынести 5 за скобки и свернуть скобку в квадрат разности (этот способ подходит для очень внимательных).
3) 8k2 - 10k + 4 = 0. D = b2 - 4ac = 100 - 4*8*4 = - 28. Значит, уравн. не имеет действительных корней.
Помните, что решение уравнений - дело часто не легкое, но если заложить основы при решении квадратных уравнений, то многие другие более сложные уравнения будут решаться у Вас тоже очнь быстро, потому что многие уравнения сводятся к более простым квадратным уравнениям.