Как решать квадратные уравнения?

Подробности

Опубликовано 30.09.2014 15:52

Квадратное уравнение - уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0 и x - переменная.

Сразу заметим, что если Вы только начинаете решать квадратные уравнения, то лучше сначала приводить их к общему виду для того, чтобы верно определять коэффициенты (о том, что такое коэффициенты квадратного уравнения расскажем далее): то есть если, допустим, у нас уравнение 5x² = 7х + 10? то лучше первым делом привести его к виду 5х² - 7х - 10 = 0.

Итак, теперь поговорим немного о коэффициентах. Числа a, b и c называются коэффициентами квадратного уравнения: a называют первым или старшим коэффициентом, b называют вторым или коэффициентом, c называют свободным членом. Сразу отметим, что коэффициент a не может быть равен нулю, иначе уравнение уже нельзя будет назвать квадратным - оно будет уже, как минимум, линейным. А вот коэффициенты b, c могут равняться нулю: тогда уравнение называется неполным квадратным уравнением.

Как же решить уравнение такого вида?

Для начала разберем случай, когда коэффициет b равен нулю. Тогда уравн. принимает вид aх² + c = 0. Перенесем с в правую часть уравнения и разделим обе части на a. Получим: х² = - с/a. Теперь, если дробь с/a - число положительное, то уравн. решений не имеет, т.к x² ⩾ 0, а если с/a - число отрицательное или равное 0, то уравн. имеет корни х₁ = корень из (- с/a) и х₂ = - корень из (- с/a). Например, если нам дано уравн. 2х² - 8 = 0, то его корни: х₁ = корень из (- (-8)/2) = 2 и x₂ = - корень из (- (-8)/2) = -2. А вот уравн. 4х² + 16 = 0 не имеет корней, т.к. с/a = 16/4 = 4 - число положительное.

Теперь разберем случай, когда коэффициент с равен нулю. Тогда уравн. принимает вид ax² + bx = 0. Вынесем x за скобки: х(aх + b) = 0. Теперь зададим себе вопрос: когда произведение в левой части равно 0? И ответим на него: когда один из множителей равен 0, т.е. x = 0 или ax + b = 0. Тогда получаем соответственно корни: x₁ = 0 и x₂ = - b/a. Например, уравн. 5x² + 10x = 0 имеет корни x₁ = 0 и x₂ = - 10/5 = - 2.

Теперь о том, как решить уравнение в котором все коэффициенты отличны от нуля.

Первым делом находят дискриминант (обозначается: D). Дискриминантом называется выражение равное b² - 4ac. Затем определяется какой по знаку дискриминант (положительный, отрицательный или равный 0). В зависимости от этого квадратное уравн. имеет разное количество корней.

Если дискриминант положительный, то уравн. имеет 2 различных корня, которые находятся по формуле: x_1,2 = (-b ± корень из D)/(2a).

Если дискриминант равен 0, то уравн. имеет 1 корень (иногда говорят о двух равных или совпадающих корнях или его называют корнем кратности 2) и находится он по формуле x = -b/(2a). Часто если дискриминан равен 0, то левую часть уравнения можно свернуть по формулам квадрата суммы или разности.

Если дискриминант отрицательный, то уравн. не имеет действительных корней (оно имеет комплексные корни, о которых мы пока не говорим).

Примеры:

Обратите внимание: часто кроме обозначения переменной за x используют другие буквы латинского алфавита.

1) -3z² + 4z + 4 = 0. D = b² - 4ac = 16 - 4*(-3)*4 = 64. Значит, уравн. имеет 2 действительных корня. z_1,2 = (-b ± корень из D)/(2a) = (-4 ± корень из 64)/(2*(-3)) = (-4 ± 8)/(-6). z₁ = -2/3 и z₂ = 2.

2) 5m² - 10m + 5 = 0. D = b² - 4ac = 100 - 4*5*5 = 0. Значит, уравн. имеет 1 действительный корень. m = -b/(2a) = -(-10)/(2*5) = 1. В правой части, конечно, можно было вынести 5 за скобки и свернуть скобку в квадрат разности (этот способ подходит для очень внимательных).

3) 8k² - 10k + 4 = 0. D = b² - 4ac = 100 - 4*8*4 = - 28. Значит, уравн. не имеет действительных корней.

Помните, что решение уравнений - дело часто не легкое, но если заложить основы при решении квадратных уравнений, то многие другие более сложные уравнения будут решаться у Вас тоже очнь быстро, потому что многие уравнения сводятся к более простым квадратным уравнениям.