В математике есть задачи, которые буквально завораживают каждого человека, кто по воле случая сталкивается с ней. К таким задачам относятся известные классические задачи на построение.

Они поставлены на заре развития геометрии древнегреческими математиками приблизительно в V веке до н.э. К таким задачам относятся: задача об удвоении куба, квадратура круга, трисектриса угла.

О возникновении задачи трисектрисы угла никаких интересных легенд нет. Она появилась в связи с построением правильных многоугольников и с решением задачи архитектуры и строительства.

Например, для того, чтобы построить правильный девятиугольник необходимо разделить угол на три равные части, т.е. 360:9=120:3.

Многие древнегреческие математики искали пути построения трисектрисы угла и нашли разные способы построения, но построить трисектрису угла циркулем и линейкой никому не удалось.

Папп Александрийский задачу трисектрисы угла относил к "пространственным" построениям, т.е к построениям выполненных с помощью конических сечений.

Одной из первых решений этой задачи принадлежит древнегреческому математику жившему V веке до н.э. Гиппею, для решения которой применял кривую, изобретенную самим, эту кривую использовал и для решения квадратуры круга. Позже для решения трисектрисы угла эту кривую применял Динострат, брат Менехма, эта кривая называется квадратрисой Динострата в честь древнегреческого математика, родившегося приблизительно 370 лет до н.э.

Архимед решил эту задачу с помощью изобретенной самим кривой, так называемой спиралью Архимеда, эту же кривую он использовал для решения задачи квадратуры круга.

Еще другое решение задачи трисектрисы угла способом "вставки'¹ предложил Архимед, в его решении нужно вставить отрезок данной длины между прямой и окружностью.

Другой древнегреческий математик Никомед с помощью своей кривой решил задачу трисектрисы угла. Эта кривая в честь Никомеда жившего около 250-150 г.г до н.э. называется "Конхоидой Никомеда".

В связи с постепенным формированием алгебры арабские математики проявляли все большой интерес к уравнениям, особенно к кубическому уравнению.

В XI веке ими было получено уравнение трисектрисы угла, т.е соотношение между и , и тем самым было показано, что задача трисектрисы угла сводится к решению кубического уравнения.

Так же свое решение с помощью кубического уравнения предложил Декарт. С помощью своей кривой так называемой "Улиткой Паскаля" дал решение трисектрисы угла Этьен Паскаль, отец знаменитого математика и философа Блеза Паскаля.

Думаю, нет резона перечислять всех, кто занимался решением трисектрисы угла потому, что их было очень много. Интерес к этим задачам был очень велик, поступили многочисленные материалы в адрес различных Академий наук тех времен. Чтобы не занимать драгоценное время ученых, даже было принято решение о не рассмотрении вопроса по решению трех классических задач на построение Парижской академией наук в 1775 году.

В 1837 году французским математиком Петром Лораном Венцелем было доказано не разрешимость этих задач циркулем и линейкой, с того времени интерес к этим задачам на много спал, это известие поставило многих математиков, занимающихся решением этих задач, в неловкое положение.

Стремление к неизведанному присуще человеку и является локомотивом в развитии, оно никогда не погаснет пока существуют человеческие проблемы.

Приведем некоторые способы решения:

Наиболее распространенным способом решения был способ "вставки".

Рис.1

Возьмем на стороне угла АОВ произвольную точку А и опустим из нее перпендикуляр АВ на другую сторону (рис.1). Из точки А проведем луч AF со направленный к лучу ОВ. Вставим теперь между перпендикулярными лучами АВ и AF отрезок DF длиной 2ОА так, чтобы его продолжение проходило через точку О.

Тогда     F0В=аов

На самом деле пусть точка Е середина отрезка DF, тогда точка А лежит на окружности с диаметром DF и с центром Е.

∆ AEF и ∆ОАЕ равнобедренные, поэтому

AOD= AED= EAF+AFE=2 AFE,

Значит FOB=1/3AOB

Древнегреческий математик Папп Александрийский показал, что задача вставления отрезка между данными перпендикулярами сводится к построению точки пересечения окружности и гиперболы. Для этого рассмотрим прямоугольник OABD.

Пусть продолжение стороны АВ будет I, продолжением стороны BD будет I (рис.2)

Рис.2

Пусть отрезок СЕ пересекает эти перпендикуляры в точке С и Е и имеет данную длину, а так же продолжение отрезка ЕС проходит через данную точку О.

Достроим ∆ DCE на параллелограмм DCEF, тoгдa для того, чтобы построить искомую отрезка СЕ надо будет построить точку F.

Если построим точку F, тогда легко построить отрезок СЕ, проведя параллельную линию на DF, проходящий через точку О.

Так как ∆ОАЕ ~∆ ОСD, следовательно OA/CD=AE/OD. Отсюда

OA∙OD=CD∙AE , OA∙OD=AE∙EF, т.e EA∙EF=S , a это значит что точка F лежит на гиперболе. Если направить оси ОХ и ОУ по лучам АЕ и АО, то эта гипербола задается уравнением xy=S.

Точка F удалена от точки D на данное расстояние, поэтому точка F так же лежит на окружности.

Как мы видим суть задачи построения трисектрисы угла в данном случае сводится к построению точки Е.

Ставим задачу: Можно ли построить точку Е не построив точку F? Для этого выполним следующие построения:

Рис.3

Пусть дан угол 0 < О₃ОО₂ < 180 (рис.3)

1. С радиусом R=O О и центрами О,О,О,О, построим четыре окружности, как показано на (рис.З)

2. 0т точки О опустим перпендикуляр OF на отрезок OO.

3. Проведем биссектрису OOугла ОООи эта биссектриса пересекается с окружностью с центром Ои радиусом R в точке А (на самом деле пересекается в двух точках, но нас интересует только точка А).

4. Опустим от точки А перпендикуляр на продолжение отрезка ОО, пусть этот перпендикуляр пересекается с продолжением отрезка OO в точке В, т.е АВОВ.

Тогда луч OB является трисектрисой угла ООО. Теперь докажем, что действительно OB является трисектрисой угла ООО.

Пересечение перпендикуляра ОF с лучом OB обозначим буквой С, продолжим АВ до пересечения с продолжением отрезка ОО. От точки С проведем параллельную линию на OO и пересечение ее продолжением АВ обозначим буквой D.

Тогда получим прямоугольник COBD, где ОD и СВ являются диагоналями этого прямоугольника, так как диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся на два равных отрезка, ∆ОЕВ будет равнобедренным. Так как OО=ОЕ=R, ∆OOE тоже равнобедренный. Отсюда OВЕ=ЕОВ.    

А так же является равнобедренным.